_______________________________________________________________________________________________________________
Математический кружок
Логические задания, задания повышенной сложности, головоломки.
-
Categories
- БАШНЯ (1)
- Видео со вставками (1)
- ВОСЕМЬ ФЕРЗЕЙ (1)
- ГОЛОВОЛОМКА С ЛЯГУШКАМИ (1)
- ПЕРЕПРАВА (1)
- Районный тур 10 класс (1)
- Районный тур 8 класс (1)
- Распутать узел (1)
- Решение логических задач (1)
- ТРИ ДОМА (1)
- Школьный тур. 10 класс. №1 (1)
- Школьный тур. 10 класс. №1. Решение. (1)
- Школьный тур. 8 класс. №1 (1)
- Школьный тур. 8 класс. №1. Решение. (1)
Распутать узел
_______________________________________________________________________________________________
Задача: распутать узел таким образом, чтобы отрезки не пересекались.Захватывайте вершины многоугольников мышкой и перетаскивайте в любое место. Уровень будет пройден, когда отрезки не будут пересекаться. С каждым последующим уровнем количество вершин увеличивается и задача усложняется.
Районный тур 10 класс
Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. Районный тур. 10 класс. I вариант |
(предыдущих лет)
f(x) и g(x) — квадратные трехчлены, старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что трехчлен f(x) + g(x) имеет два различных корня, и каждый из этих корней является также корнем уравнения f(x) – g(x)³ = 0. Докажите, что трехчлены f(x) и g(x) равны.
Решение: Рассмотрим корень x0 многочлена f(x) + g(x), он будет также корнем (f(x) + g(x)) – (g(x) – f(x)³) = f(x)³ + f(x) = f(x)(f(x)² + 1). Это означает, что x0 – корень многочлена f(x), а, значит, и g(x) (поскольку g(x) = (f(x) + g(x)) – f(x)). Таким образом, оба корня трёхчлена g(x) являютс также корнями трёхчлена f(x), стало быть эти трёхчлены совпадают.
Задача 2:
По кругу расставлены 120 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых 35 чисел, стоящих подряд, равна 200. Докажите, что все расставленные числа не превосходят 30.
Задача 3:
Федя и Наташа стартуют с одного и того же места и равномерно движутся по прямой линии в одном направлении. Федя спокойно идет, а Наташа бежит. Пробежав 400 своих шагов, Наташа поворачивает обратно. В этот момент Федя начинает считать свои шаги и насчитывает до встречи с Наташей 100 (своих) шагов. Докажите, что шаги идущего Феди короче шагов бегущей Наташи.
Задача 4:
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр стороны AB в точке X, серединный перпендикуляр стороны AC — в точке Y, а описанную окружность треугольника — в точке Z. Точки A, X, Y, Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что AX = YZ.
Задача 5:
Можно ли бумажный прямоугольник размера 103 × 49 разрезать «по клеточкам» на несколько прямоугольников, каждый из которых имеет размеры 7 × 9, 7 × 14 или 9 × 14?
Районный тур 8 класс
Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. Районный тур. 8 класс. I вариант |
Решение:
Сумма любых 12 чисел подряд равна 90. Т.,е. если из суммы всех чисел вычесть сумму любых двух стоящих подряд, получится 90. Значит, суммы любых двух чисел подряд одинаковы и равны 15. Поэтому каждое число меньше 15.
Задача 2: В лавке можно обменять шило на мыло, или 3 мыла на 1 шило, или 1 мыло на 4 шила (но не наоборот). После нескольких обменов у Сережи оказалось столько же шила и мыла, сколько было вначале. Докажите, что количество сделанных обменов делится на 16.
(С.Иванов)
Решение:
Пусть первая смена шила на мыло происходила a раз, смена 3 мыл на шило – b раз, и мыла на четыре шила – c раз. Поскольку количество мыла у Серёжи не изменилось, то a – 3b – c = 0. Точно также, отслежива операции с шилом, имеем, что – a + b + 4c = 0. Складывая эти два уравнения, получаем, что 3c – 2b = 0, то есть b=3/2c, а значит c – чётное число. Из первого уравнения. a=3b+c=9/2c+c=11/2cИ, наконец, a+b+c=11/2c+3/2c+c=8c. Поскольку c, чётно, это означает, что a + b + c делится на 16.
Задача 3: На сторонах AB и BC треугольника ABC с углом ∠ C = 40 выбраны точки D и E такие, что ∠ BED = 20. Докажите, что AC + EC > AD.
(А.Пастор)
Решение: Продолжим сторону AC за точку C и отложим отрезок CF = CE. Тогда ∠ EFC = 20 градусов, AF = AC + CE. Угол FDA — внешний в треугольнике BED, поэтому он больше 20. В треугольнике AFD сторона AD лежит против меньшего угла, чем сторона AF. Поэтому AF > AD.
Задача 4: Можно ли клетчатый бумажный квадрат 14 × 14 клеток разрезать «по клеточкам» на несколько прямоугольников, каждый из которых имеет размеры 2 × 5 или 3 × 9 клеток? (Д.Карпов)
Решение:
Пусть прямоугольников 2 × 5 – a штук, а прямоугольников 3 × 9 – b штук. Площадь квадрата равна 196 клеточек, значит 196 = 10a + 27b. Отсюда следует, что 27b заканчивается на 6, но минимальное такое число 27 • 8 = 216, что больше 196. То есть разбить квадрат требуемым образом не удастся. Задача 5: Найдите все тройки натуральных чисел x, y, z такие, что xyz = 170170 и x²y + y²z + z²x = xy² + yz² + zx².
(Ф.Бахарев)
Решение: Ответ: (1,1,170170), (1, 170170, 1), (170170, 1, 1).
170170 = 2 • 5 • 7 • 11 • 13 • 17 — свободно от квадратов. Второе уравнение раскладывается на множители: (x – y)(y – z)(z – x) = 0. Если, скажем, x = y, то 170170 делится на x², что возможно лишь при x = 1. Тогда y = 1, z = 170170. ПЕРЕПРАВА
Цель - перевезти всех на другой берег и при этом:
1. Полицейский не может оставлять преступника с людьми одного.
2. Папа не может оставлять сыновей одних с мамой, а мать дочерей с папой.
3. Дети одни не могут плавать на плоту.
4. Плот сам по себе не возвращается и берет на борт не более 2-х человек.
Для Начала игры надо нажать большую синюю круглую кнопку
1. Полицейский не может оставлять преступника с людьми одного.
2. Папа не может оставлять сыновей одних с мамой, а мать дочерей с папой.
3. Дети одни не могут плавать на плоту.
4. Плот сам по себе не возвращается и берет на борт не более 2-х человек.
Для Начала игры надо нажать большую синюю круглую кнопку
Подписаться на:
Сообщения (Atom)